球体体积公式和表面积公式是什么（球体面积、体积公式推导）
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发布时间：2024-10-11 08:16:35
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1 球体面积公式推导
2 球体体积公式推导
3 圆锥体积公式推导
4 弧长(圆周)公式推导
5 扇形(圆)面积公式推导
正文
1 球体面积公式推导
解：
图1 球体面积示意图
计算球体表面积就像转着圈削苹果皮。如图1(A),先求出阴影标出的一个圆台的侧边面积（一圈皮）。由于整个苹果外皮被削成无数圈,再把这么多圈皮的面积累加起来就得到整个苹果的外皮面积(球面积)。图1(B)是圆台的侧边展开的图形。
由图1(A)知
将小圆台侧面积记作△S,则有
事实上，球体的表面是弧线而圆台的侧边是直线，因此是有误差的。只有当圆台划分得无限细微(L1→L2)时，两者才相等。此时△θ→0,α→θ,
于是
注：因为球体是对称的，所以我们求出半个球体面积再乘以2.
2 球体体积公式推导
我们用两种方法推导球体积公式
方法一：
考虑把球切成无数薄片，每个薄片近似为圆柱体。把所有圆柱体积累加得到球体积。
解：
方法二：
把球体按照经纬线划分成无数小方块。计算球心和小方块构成的四棱锥的体积，累加起来就是球体体积。当划分块数n→∞时，棱锥的高h→R,球面小方块越接近平面。全部小方块面积之和就是球体面积。
图2球体体积示意图
解：
3 圆锥体积公式推导
解：
4 弧长(圆周)公式推导
解：
5 扇形(圆)面积公式推导
解：
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