矩阵相似的性质是什么（矩阵相似合同等价之间区别的简单理解）

矩阵的相似定义如下：

矩阵相似的性质如下：

可见，矩阵相似主要的应用方面是特征值与特征向量。那么，如何简单理解特征值与特征向量呢？

我们首先回顾一下特征值和特征向量的定义如下：Ax=λx

最简单的理解就是，上图中OY是一个向量，假设这个向量就是方程Ax=λx中的向量x，那么，矩阵A乘以这个向量，就相当于将这个向量伸缩了λ倍。

矩阵合同主要是针对二次型多项式变换：

由以上几个图可以看到，矩阵合同主要是由于将一般二次型多项式化为标准二次型的需要而定义的，其目的可以如下理解：

上图的椭圆方程相当于一个标准二次型，其长轴是x轴，短轴是y轴。

上图中的椭圆由于椭圆的长轴和短轴不是x轴和y轴，所以其方程相当于一般二次型。

经过矩阵合同转换以后，如上图，长轴和短轴分别转化为x轴和y轴，椭圆方程也就变成了标准二次型。

矩阵等价则主要应用于求取矩阵的秩以及相应的方程组求解方面：

由此可以简单理解三者之间的差别：

矩阵相似用于特征值求解；矩阵合同用于几何图形方程的标准化；矩阵等价用于求取矩阵的秩以及相应方程组的求解。