人工智能数学基础----矩阵

人工智能数学基础系列文章

• 1. 人工智能数学基础----导数
• 2. 人工智能数学基础----矩阵
• 3. 人工智能数学基础----线性二阶近似

今天复习矩阵，作为程序员，矩阵在程序中的应用想必或多或少都接触过，特别是在图像变化算法上的应用。

一、矩阵

1. 定义

矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。（此定义来自百度百科）

下面通过一个方程组来声明一个矩阵（数学符号在PC上书写真是很麻烦，不知道谁有好用的公式符号书写软件推荐下）：

以上是一个三元一次方程组，根据矩阵的来源定义，有矩阵A如下图

2. 矩阵的运算

2.1. 矩阵的加法

从上图中我们可以看出，矩阵A和矩阵B相加，它们都是2 x 2的矩阵，相加就是两个矩阵对应的元素值的相加，比如：矩阵A的一行一列元素3和矩阵B的一行一列的元素-7相加，得到新的矩阵的一行一列元素-4，以此类推计算出一个新的矩阵。上图中A+B计算的结果和B+A是一样的，符合加法的交换律。 重新定义两个矩阵A[2x2]和B[2x3]：

矩阵A是2行2列，矩阵B是2行3列，如果A+B，根据上面两个矩阵相加的计算法则，会发现矩阵B的第三列元素没有办法相加。所以结论是： 当两个矩阵相加的时候，这两个矩阵的维数（行列个数）必须是相同的，比如要么都是 2x2，要么都是3x3等等。 同样的如果是A+B+C三个或者更多的矩阵的相加计算方式也是一样的。2.2. 矩阵的减法

上图可以看出，矩阵A-B的计算就是对应的每个元素的相减，而且有个规律是： 矩阵A-B = -(B-A)，同矩阵加法一样，做减法的两个或者多个矩阵的维数（行列个数）必须是一样的，否则无法进行减法运算。2.3. 矩阵的乘法

有矩阵A和B，两个矩阵相乘，A的a11（表示矩阵的第一行第一列元素）、a12 分别和B的第一列的两个元素相乘后相加，作为新的矩阵的a11元素值。

上图就很清楚的描述了，矩阵乘法的计算规则。

假设有两个矩阵C和D，分别是C·D和D·C，很明显计算出的结果不相同，所以通常情况下矩阵的乘法是不满足：乘法交换律的，即：C·D≠D·C

如上图，你会发现也不是任何两个矩阵都能够相乘，只有乘数矩阵A的列数和被乘矩阵B的行数相同的时候，两个矩阵才能相乘。

3. 单位矩阵

在介绍单位矩阵之前，说介绍什么是方阵，顾名思义，方阵就是方的，行数和列数一样的矩阵，比如：

像上图这样，行列一样的矩阵就是方阵，这很直观也很好理解。单位矩阵，是一直特殊的方阵，它的所有元素由0和1组成，并且对角线的元素为1,其余元素为0，当然一阶的单位矩阵只含有一个元素1：I₁ = [1]。

以上四个方阵都是单位矩阵，分别是I₂二阶单位矩阵、I₃三阶单位矩阵、四阶和五阶的单位矩阵。单位矩阵的阶数可以无限扩大，比如n阶的单位矩阵:

单位矩阵有一个特殊重要的性质，I·A = A，A·I = A，这里的矩阵A是一个和单位矩阵同个维数的方阵，不是方阵无法和单位矩阵相乘，这个性质很容易证明，举个例子就知道了：

反过来A·I 也等于A4. 逆矩阵

如上图，如果一个矩阵可逆，那么就会有性质：A^-1·A=I，I是一个单位矩阵。逆矩阵的求法，如上图所示，逆矩阵 = 矩阵行列式的倒数值 * 矩阵A的伴随矩阵。当矩阵A的行列式如果等于0，即ad - bc = 0，或者 a/c = b/d，那么这个矩阵不存在逆矩阵（行列式的倒数1/|A|没有定义），我们也称这样的矩阵叫 “奇异矩阵”